В математическом анализе хаоса мы для простоты будем рассматривать дискретные динамические системы, так как они позволят вам понять суть вопроса.

Существует теорема, согласно которой непрерывная динамическая система будет хаотической тогда и только тогда, когда существует такое сечение Пуанкаре, что в нем можно определить дискретную динамическую систему, которая также будет хаотической.

Существует особый класс дискретных динамических систем, обладающих очень важной характеристикой: эти системы являются нелинейными. Система называется линейной, если функция f является линейной, то есть функцией первой степени, следовательно, имеет вид f(х) = ах + Ь. Если же функция f нелинейная (то есть ее степень больше 1) и, к примеру, имеет вид f(х) = ах² + Ьх + с, то такая система считается нелинейной.

Несмотря на то что в нелинейных динамических системах значения величин, характеризующих систему, определяются значениями величин в предыдущий момент времени (такая система называется детерминированной), выходные значения непропорциональны входным. Микроскопические изменения в начальных условиях могут вызвать значительные изменения конечного состояния системы. Именно эта несоразмерность между причинами и следствиями объясняет, почему поведение подобных систем столь разнообразно: некоторые из них описывают фиксированные точки, периодические, квазипериодические и, наконец, хаотические орбиты.

Виды нелинейных динамических систем (стационарные, периодические и хаотические), соответствующие им представления временных рядов значений (слева) и графики траекторий на фазовой диаграмме (справа).

Настало время ответить на вопрос, вынесенный в название главы: что же такое детерминированный хаос? Сначала посмотрим, что мы узнали о работах Пуанкаре, Смэйла и Лоренца из предыдущих глав. Мы увидели, что геометрическая сущность хаоса заключается в растяжении и последующем складывании траекторий.

В результате последовательных растяжений и складываний траектории на фазовом пространстве становятся подобны тарелке спагетти, в которой каждая траектория переплетена с остальными. Следовательно, малейшая неточность при измерении начальных условий может привести к тому, что мы проследуем вдоль неверной траектории-спагетти, которая переплетена с той, что нас интересует, но ведет к совершенно другой части блюда. В результате наш прогноз в долгосрочном периоде будет ошибочным. Эффект бабочки в действии.

История появления теории хаоса показывает нам две структурные характеристики, связанные с хаосом и объясняющие его непредсказуемость. Во-первых, хаотические системы крайне чувствительны к начальным условиям (это показали Пуанкаре и Лоренц), во-вторых, траектории в хаотических системах, растягиваясь и складываясь пополам, переплетаются между собой (Пуанкаре, Смэйл). Мы продемонстрировали обе эти характеристики на примере задачи трех тел Пуанкаре, бильярда Адамара, подковы Смэйла, системы Лоренца и других.

Математическое определение хаоса, с одной стороны, отражает чувствительность к начальным условиям, или эффект бабочки, а с другой стороны — запутанную топологическую структуру, или эффект карточной колоды (он заключается в том, что траектории переплетаются между собой так, будто воображаемый пекарь месит воображаемое тесто).

ХАОС = ЭФФЕКТ БАБОЧКИ + ЭФФЕКТ КАРТОЧНОЙ КОЛОДЫ

Хаос представляет собой совокупность эффекта бабочки и эффекта карточной колоды. Недостаточно, чтобы близлежащие траектории со временем быстро отдалялись друг от друга — они также должны растягиваться, складываться и при этом переплетаться.

Существует множество классических примеров хаотических систем, большинство из которых мы уже упоминали. Если говорить о непрерывных динамических системах, то наиболее ярким примером системы, не сохраняющей энергию (диссипативной системы), будет система Лоренца — упрощенная модель земной атмосферы.

Система Эно — Хайлса, связанная с задачей трех тел, — это классическая модель хаотической системы без диссипации (такие системы называются гамильтоновыми).

Если говорить о дискретных динамических системах, то вам уже знакомы логистическое отображение Мэя (о нем мы подробнее поговорим далее) и двухмерное отображение Эно — две системы, по форме схожие с подковой Смэйла и, что более важно, обладающие символической динамикой. Примером символической динамики является сдвиг Бернулли — возможно, простейшая разновидность дискретной динамической хаотической системы.

Сдвиг Бернулли определяется следующим образом: для данного числа х на интервале от 0 до 1, записанного в виде десятичной дроби, нужно сдвинуть запятую на одно положение вправо и отбросить первую цифру (то есть целую часть полученного числа). Пример:

Мы сдвинули запятую на одну позицию вправо и стерли цифру 3. Аналогично,

Следовательно, орбита или траектория начального значения х = 0,324571 будет записываться так: {0,324571; 0,24571; 0,4571; 0,571; 0,71; 0,1; 0; 0; 0}. Эта орбита стремится к фиксированной точке 0 (точечному аттрактору, или фокусу).

Как вы узнаете позже, сдвиг Бернулли обладает хаотическим поведением, поскольку в нем присутствуют и эффект бабочки, и эффект карточной колоды. Чувствительность к начальным условиям несложно подтвердить экспериментально: допустим, что мы хотим проследовать вдоль траектории точки х = 1/3 = 0,3 = 0,33333. Так как результатом измерения может быть лишь конечное число десятичных знаков, рассмотрим у = 0,3333. Ошибка будет составлять менее одной тысячной. Изначально орбиты х и у будут располагаться поблизости, однако затем отдалятся друг от друга:

Подобно остальным периодическим десятичным дробям, х = 0,3 определяет периодическую орбиту для сдвига Бернулли. В нашем случае точка х имеет период, равный 1, то есть это фиксированная точка, так как она повторяется бесконечное число раз. И напротив, у = 0,3333, подобно всем остальным непериодическим десятичным дробям, — это точка, составляющая часть впадины аттрактора, расположенного в точке 0, так как в долгосрочном периоде ее орбита притягивается к точке 0. Ошибка измерения, которая изначально составляла менее одной тысячной (х — у = 0,3 — 0,3333 = 0,00003), значительно возрастет и будет иметь порядок нескольких десятых (после четвертой итерации ошибка будет равна 0,3 — 0 = 0,3).

Два начальных условия, близкие друг к другу, порождают две траектории, которые по прошествии определенного времени никак не связаны между собой.

Где в нашем случае проявляется эффект карточной колоды? Рассмотрим бесконечные непериодические десятичные дроби, то есть иррациональные числа. Построим орбиты чисел (2)^0,5 - 1 (= 0,41421356237…) и π — 3 (= 0,14159265358…):