Компьютер «эвдемон истов», спрятанный в туфле.
* * *
Намного позже, в 1970-е, советский математик Яков Синай (род. 1935) вновь изучил результаты, полученные Адамаром, и рассмотрел уже не криволинейный бильярдный стол, а движение шаров на плоском квадратном столе, где располагались различные препятствия в форме дисков. Он доказал, что этот бильярд обладает теми же свойствами, что и бильярд Адамара, так как дискообразные препятствия приводят к хаотическому распределению шаров.
Хаотическая траектория бильярдного шара на бильярде Синая.
Еще один важный результат получил однокурсник Жака Адамара — французский физик Пьер Дюгем (1861–1916). Он был убежденным католиком и ставил религиозную философию выше научной, с чем убежденный рационалист Пуанкаре не мог согласиться. Дюгем обратился к важным философским последствиям результатов, полученных им и Пуанкаре, и смог разглядеть их революционный характер.
В главе «Пример математического вывода, никогда не применимого» своего труда «Физическая теория. Ее цель и строение» (1906) Дюгем замечает, что долгосрочное прогнозирование траектории шаров в бильярде Адамара не имеет смысла, поскольку любая, даже самая малая неточность при измерении начального положения и скорости шара приведет к ошибочному прогнозу. Прогнозная траектория не будет иметь ничего общего с реальной. Процитируем книгу Дюгема:
«Очень хороший пример такого вывода, всегда бесполезного, представляют изыскания Адамара. Мы заимствуем его из наиболее простых проблем, составляющих предмет исследования наименее сложной из физических теорий, а именно механики. Материальная масса скользит вдоль некоторой поверхности. На нее не действует никакая тяжесть, никакая сила; нет также никакого трения, которое изменяло бы ее движение. Если наша материальная точка движется по какой-нибудь произвольной поверхности, то она описывает линию, которую наши математики называют геодезической линией данной поверхности. Исследования Адамара касались специально геодезических линий многократно пересекающихся плоскостей противоположной кривизны. Если дано первоначальное положение нашей материальной точки и направление ее первоначальной скорости, геодезическая линия, которая должна быть описана, вполне определена. Другое дело, когда начальные условия даны не математически, а практически. Пусть начальное положение нашей материальной точки есть не определенная точка на поверхности, а какая-то точка внутри небольшого пятна. Пусть направление начальной скорости не есть вполне определенная прямая линия, а одна какая-то из прямых линий, образующих пучок, сечение которого есть небольшое пятно. Несмотря на тесные границы, в которых сжаты геометрические данные, соответствующие нашим практическим данным, можно эти геометрические данные всегда выбрать таким образом, чтобы геодезическая линия удалилась от геодезической линии, выбранной заранее. Можно произвольно увеличить точность, с которой определены практические данные, можно уменьшить пятно, в котором находится первоначальное положение материальной точки, можно сжать пучок, в котором находится направление начальной скорости, но все же никогда не удастся геодезическую линию, остающуюся на конечном расстоянии, выделить из пучка ее неверных подруг, которые удаляются на бесконечность. Если начальные данные не определены математически, а при помощи физических методов, как бы они ни были точны, поставленный вопрос остается без ответа и всегда останется таковым».
* * *
ДЕДУШКА АДАМАР
Жак Адамар (1865–1963), блестящий ученый еврейского происхождения, которому арифметика в детстве давалась с большим трудом, после смерти Пуанкаре занял его место во Французской академии наук. Адамар был патриархом парижской математики, сначала он занимал должность преподавателя в институте (известно, что студенты не понимали его лекций и высказывали недовольство), затем — университетского профессора (здесь, как правило, темы его исследований также интересовали прежде всего его самого).
Рассеянность Адамара была легендарной: во время Второй мировой войны, когда нацисты оккупировали Францию, профессор забыл дома американскую визу. Когда он переехал в США, то должен был как-то зарабатывать на жизнь, и в свои 79 лет он направился в университет. Ученого принял профессор, не расслышавший имени Адамара, и тот тогда показал на свой портрет, висевший на стене: «Смотрите, это я». Неделей позже Адамар вновь пришел в университет, но его портрет бесследно исчез со стены, а сам ученый получил отказ. По своим взглядам Адамар был близок к коммунистам, и некоторые полагают, что именно ему принадлежало авторство теорем, которые позднее были опубликованы в СССР и приписывались Карлу Марксу.
* * *
Далее Дюгем рассматривает другую задачу, очевидно схожую с той, что рассмотрел Адамар — задачу трех тел. Упомянув исследования Пуанкаре, Дюгем указывает: сплетение устойчивых и неустойчивых траекторий может означать, что мы не способны однозначно определить, является ли траектория планет устойчивой. Он пишет:
«Проблема трех тел остается еще для математиков страшной загадкой. Тем не менее, если в какой-нибудь данный момент известны с математической точностью положение и скорость каждой из звезд, образующих систему, то можно утверждать, что с этого момента каждая звезда будет описывать вполне определенную траекторию.
На этом основании математик может задаться следующим вопросом: будут ли эти звезды и впредь продолжать свое вращательное движение вокруг Солнца? Не произойдет ли, напротив, такая вещь, что одна из этих звезд отдалится от своих подруг, чтобы удалиться в бесконечность? Этот вопрос образует проблему устойчивости системы. Лаплас полагал, что он решил эту проблему, но только стараниями современных математиков, и в особенности Пуанкаре, обнаружена была чрезвычайная трудность ее решения. Но может случиться так, что практические указания, которые астроном дает математику, представляют для последнего бесчисленное множество теоретических данных, граничащих друг с другом, но тем не менее различных. Возможно, что среди этих указаний окажутся такие, по которым все звезды вечно должны оставаться на конечном расстоянии, но, может быть, окажутся и такие, по которым некоторые из этих небесных тел должны удалиться в бесконечность. Если бы здесь обнаружилось обстоятельство, аналогичное тому, с которым мы познакомились в проблеме Адамара, то для физика всякий математический вывод относительно устойчивости Солнечной системы оказался бы выводом никогда не применимым».
В присутствии хаоса реальная и прогнозная траектория системы в среднесрочном и долгосрочном периоде будут расходиться.
Несмотря на то что все французские математики находились в тени Пуанкаре, на протяжении большей части XX столетия никто не предпринимал серьезных попыток подробно изучить гомоклинические сети и хаотические орбиты.
Между открытиями Пуанкаре и началом современных исследований хаоса прошло очень много времени. Так случилось потому что, во-первых, была открыта квантовая механика, которой уделяли внимание несколько поколений физиков и математиков. Если в квантовой механике случайность оказывает влияние на различные события новым, неизвестным образом, зачем вводить случайность в классической механике, рассматривая чувствительность к начальным условиям? Во-вторых, идеи Пуанкаре, Адамара и Дюгема были высказаны слишком рано, когда еще не существовало средств для их дальнейшего развития, и только с появлением компьютеров стало возможным произвести необходимые сложные вычисления и численный анализ.